Die Elemente
| Daten zum Buch | |
|---|---|
| Deutscher Titel: | Die Elemente |
| Autor(en): | Euklid |
| Herausgeber: | Clemens Thaer |
| Erscheinungsort: | |
| Verlag: | Europa-Lehrmittel |
| Serie: | Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften |
| Erscheinungsjahr: | |
| Seitenanzahl: | 479 Seiten |
| Originaltitel: | Stoicheia |
| Originalsprache: | griechisch |
| ISBN-10: | 3808554827 |
| ISBN-13/
EAN-Code: |
9783808554821 |
| Schlagwörter: | Geometrie, Axiom, Beweis, Antike |
| Sachgebiete: | Sachbuch, Mathematik |
| Rezensionen | |
Die Elemente des Euklid sind um 300 v. Chr. in Alexandria entstanden und waren zweitausend Jahre lang das Lehrbuch der Mathematik. Nach der Bibel ist es das am häufigsten gedruckte Buch der Welt.
Inhalt
Euklid beginnt mit dem, was er nicht beweisen kann und deshalb voraussetzt. Zuerst Definitionen: Ein Punkt ist, was keine Teile hat, eine Linie eine Länge ohne Breite. Dann fünf Postulate, die festlegen, was man tun darf – etwa zwischen zwei Punkten eine Strecke ziehen oder um jeden Mittelpunkt einen Kreis schlagen; damit ist das Werkzeug auf Zirkel und Lineal beschränkt. Zuletzt die Axiome, allgemeine Grundsätze wie der, dass das Ganze größer ist als sein Teil. Alles Weitere wird aus diesem Anfang abgeleitet, Satz für Satz, jeder nur mit dem, was vorher schon bewiesen wurde. Diese Bauform ist die eigentliche Erfindung des Buches, und sie ist folgenreicher als jeder einzelne Satz darin.
Dreizehn Bücher tragen darauf das gesamte Wissen der griechischen Mathematik ab. Das erste behandelt Winkel, Dreiecke und Parallelen und endet mit dem Satz des Pythagoras, den Euklid mit einer Flächenzerlegung beweist. Es folgen der Kreis, die regelmäßigen Vielecke und die Proportionenlehre des Eudoxos, die auch mit Verhältnissen umgehen kann, die sich in keinem Zahlenpaar ausdrücken lassen – der wunde Punkt der Pythagoreer, an dem die Diagonale des Quadrats ihre Schule erschüttert hatte. Drei Bücher gelten den Zahlen: Dort steht das Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, das noch heute in jedem Rechner steckt, und dort steht der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt – gäbe es nur endlich viele, ließe sich aus ihnen eine weitere gewinnen. Das zehnte Buch ordnet die irrationalen Größen, das elfte und zwölfte gehen in den Raum, und das dreizehnte schließt mit den fünf regelmäßigen Körpern und dem Nachweis, dass es keinen sechsten geben kann.
Ein Anwendungsbeispiel sucht man im ganzen Werk vergeblich; gemessen, gebaut oder gerechnet wird hier nicht. Und eine Stelle hat Euklid selbst sichtlich Mühe bereitet: das Parallelenpostulat, wonach sich zwei Geraden auf der Seite schneiden, auf der die Innenwinkel zusammen weniger als zwei Rechte ergeben. Es klingt weniger einleuchtend als die übrigen Voraussetzungen, und Euklid schiebt seine Verwendung so lange auf, wie er kann. Zweitausend Jahre lang haben Mathematiker versucht, es aus den anderen abzuleiten – al-Tusi, Wallis, Saccheri, Lambert, Legendre –, und alle sind gescheitert. Zu Recht: Es ist unabhängig.
Einordnung
Aus diesem Scheitern entstand die Mathematik der Moderne. Gauß erkannte um 1800, dass mit einer anderen Annahme eine andere, ebenso widerspruchsfreie Geometrie entsteht, hielt es aber zurück; Bolyai und Lobatschewski veröffentlichten es unabhängig voneinander, Riemann fügte 1854 eine weitere Variante hinzu, und Einstein fand für die gekrümmte Version der Raumzeit später die Physik dazu. Was Euklid stillschweigend der Anschauung entnommen hatte, machte 1899 David Hilbert vollends explizit. Bis dahin war das Buch Schulstoff, in England noch im 19. Jahrhundert im Original; Abraham Lincoln las es nach eigenem Bekunden, um zu lernen, was ein Beweis ist, und Spinoza schrieb seine Ethik nach euklidischem Muster mit Definitionen, Axiomen und Lehrsätzen. Der Inhalt ist heute weitgehend Schulwissen. Geblieben ist die Form: Wer etwas beweisen will, tut es noch immer so, wie es dieses Buch vorgemacht hat.
Wie dieser Artikel entstanden ist: Den Text hat ein KI-Sprachmodell verfasst (Claude Opus 5, Anthropic). Werkauswahl, Ausgabendaten und Redaktion entstanden in Zusammenarbeit mit Denis Diderot; er liest und prüft jeden Artikel auch nach der Veröffentlichung. Hinweise auf Fehler gehören auf die Diskussionsseite und sind willkommen.
